什么是Coset?

辅集是数学群的一种特定类型的子集。例如，可以考虑7的所有整数倍的集合，{…-14， -7, 0, 7, 14…}，表示为7Z．给每个数字加3生成集合{…-11， -4, 3, 10, 17…}，数学家将其描述为7Z+ 3。后一个集合称为7的傍集Z生成的3。

7有两个重要的性质Z．如果一个数是7的倍数，那么它的加性逆也是。7的加性逆是-7,14的加性逆是-14，以此类推。另外，将7的倍数与另一个7的倍数相加得到7的倍数。数学家对此的描述是，7的倍数在加法运算下是封闭的。

这两个特点是为什么7Z称为?的子组整数加法。只有子群体有伴儿。所有三次数的集合，{…-27， -8， -1, 0, 1,8, 27…}，不像7那样有协集Z因为它在加法下不封闭1 + 8 = 9，而9不是三次数。类似地，所有正偶数的集合{2,4,6，…}没有余集，因为它不包含逆。

这些规定的原因是，每个数字应该恰好在一个套。对于{2,4,6，…}， 6在4生成的余集中，也在2生成的余集中，但这两个余集是不相同的。这两个标准足以确保每个元素恰好在一个辅集中。

任何组中都存在协集，有些组比整数复杂得多。我们可以考虑的一个有用的组是在不改变正方形所覆盖区域的情况下移动正方形的所有方法的集合。如果一个正方形旋转90度，它的形状不会有明显的变化。同样，它可以垂直、水平或跨越任何对角线翻转，而不改变正方形覆盖的区域。数学家称这个群为D₄．

D₄有八个元素。如果两个元素的所有角都在相同的位置，那么它们就被认为是相同的，因此顺时针旋转正方形四次被认为等同于什么都不做。记住这一点，八大元素就可以表示出来了e, r, r², r^3.v, h, d_d，而且d_d．“e是指什么都不做，而r²表示旋转两次。最后四个元素中的每一个都指的是翻转正方形:垂直、水平或沿着其向上或向下倾斜的对角线。

这些整数是一个阿贝尔群，这意味着它的运算满足交换律:3 + 2 = 2 + 3。D₄不是交换。旋转一个正方形然后水平翻转它不会像翻转它然后旋转它那样移动四角。

当研究非交换群时，数学家通常用*来描述运算。一项小研究表明，旋转正方形，然后水平翻转，r * h，和向下的对角线翻转是一样的。因此R * h = d_d．翻转正方形，然后旋转它等价于翻转它向上的对角线，所以R * h = d_u．

顺序问题D₄所以在描述cos时必须更精确。当处理整数时，短语" the coset of 7Z“由3生成”是明确的，因为它与7的每一倍数的左边或右边加3无关。的一个子组D₄但是，不同的顺序会产生不同的傍集。根据前面描述的计算，r＊H，左傍H由r ={生成r d_d}但是H＊r= (r d_u}。两个不同的coset中没有元素的要求在比较右coset和左coset时不适用。

合适的伴侣H不要搭配它的左胸衣。不是所有的子组D₄分享这个属性。我们可以考虑子群体R在正方形的所有旋转中，R= {e, r, r², r^3.}。

稍微计算一下就可以知道它的左余弦和右余弦是一样的。这样的子群称为正规子群。正规子群在抽象代数中极为重要，因为它们总是编码额外的信息。例如，两个可能的傍集R等于两种可能的情况"正方形被翻转了"和"正方形没有被翻转"